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角概念的再认识与教学策略

来源:博天堂官网 | 时间:2019-05-01

  大家好!我是“一课研究”第31小组学员朱孟迪,来自浙江省宁波市慈溪市崇寿镇中心小学。很高兴在这与您相遇!

  小学数学教材多次出现知识螺旋的内容,同类知识编排在不同的年级学习,是为了学生更好地理解与掌握。“角”就是这样一个比较典型的知识。这样的安排,是考虑到小学生的认知发展正处于初步逻辑思维期,即从表象性思维的概念化活动逐步过渡到概念性思维的阶段。(本文以人教版教材为例展开叙述。)

  数学中的“角”将学生的思维从一维拓宽到二维。学生学习这个内容,是对“生活中的角”(如:角落,牛角,一角钱)认知上的一种数学化剥离,也是学生进一步认识平面几何、立体几何乃至理解数学、认识世界迈出的重大一步。然而在教学实践中,我们经常看到角教学中存在一些问题:有些教师重视角的结构特征的教学,却忽视角概念的作用与价值,以至于学生对角的认识不够到位;有些教师对教材呈现的两种定义理解不深,以至于学生对角的认识不够全面。那么,教师该如何帮助学生准确地理解“角概念”?如何高效地研究“角教学”呢?

  我们不难看出:定义一是从角的“结构特征”引发的,我们称之为“静态定义”;定义二是从“旋转运动”引发的,我们称之为“动态定义”。其中,角的动态定义则采用了“发生式定义”的方式。两种定义阐述的维度虽不同,但都紧紧抓住了角的本质内涵。

  我们认为定义①的思维起点是射线,关注的是两条射线的一种特殊位置关系——具有公共端点,这是一种比较高阶的思维。相较而言,小学教材选用的定义一突出从“点”引发“射线”的序,一方面把射线分解成“点”和“线”,另一方面突出了射线的形成过程,这样就显得更加细腻,也更适合小学生的年龄特点和心理需求。定义②站在“平面角”的高度来诠释角,对于小学生来讲太过抽象。

  基于以上对比,我们认为教材给出的两种定义更符合小学生的年龄特点和认知水平。静态定义能很好的呈现角的形成和构造,动态定义则拓宽了学生认识事物的眼界,这是上述几种定义无法比拟的——射线在绕端点旋转运动的过程中,学生对图形的感知从一维拓宽至二维,改变了以往静态识图的经验;这种运动引发了角大小的变化,形成了许多不同的角,所有的角都可以在这个运动中定格。这样,两种定义相互作用,以“静”智“动”,促学生智力的提升,更利于他们全面的认识、理解和掌握角的本质。

  角概念的第一次呈现是在二年级上册:“角是由一个顶点,两条直直的边组成”。虽然没有给出明确的定义,但学生通过观察、操作、寻找等活动,已经朦胧地建立了角的概念,这种概念是建立在具体之上的抽象。数学来源于生活,又高于生活,学生能够区分生活中的角和数学中的角了。与此同时,这部分内容的学习也为四年级认识角的上位知识积累了一定的数学活动经验。

  角概念的正式呈现是在四年级上册,静态定义出现在学生学习了“线段、射线、直线”之后。借助该定义,学生就能站在数学的角度来解释“为什么角的两边需是直直的?为什么角的大小跟两边长短无关?”——因为角的两边是射线。由此可见,角的大小原来也是立足于角的概念的。如此迂回教学,螺旋上升,概念升华,符合小学生的认知发展规律。动态定义出现在“角的分类”一课中,是为引出平角和周角的概念铺设的。此定义打破了静态定义的局限,是对静态识角的一种突破和重构,是学生理解和构建角的概念的一种高度抽象,并抽取出概念的本质。

  我们看到,角概念遍布于角教学的各个环节,站在角概念的高度来指导角教学,可以起到事半功倍的效果。深读教材,我们发现教材在两个学段主要设置了“识角”和“画角”这两个趋同任务,且编排时具有形式上的相似性和知识上的递进性。我们认为,它们是学生理解“角概念”,掌握“角知识”最重要的载体。那么,怎样才能凸显角概念的本质,使角的教学更显张力呢?

  学生初步认识的角是从物体中“抽象”出来的,教师应该及时引导他们“指一指”,顺序如下:“一个顶点(手指顶点),两条边(手从顶点出发,一条边一条边地指)。”在这样的找角、说角的过程中,“说”与“做”相结合,语言与概念互渗透,角的静态定义萌芽生长,角的各部分名称不断强化,自动化,直至内化,悄然无声。我们认为,这种指角、说角的活动不应成为第一课的专用,且需经常使用。学生初学直角、锐角、钝角时,需要学生“指一指”;学生在画完角后,也需要学生“指一指”。这样处理,借助“指”的动作思考和“说”的发声思考,采用多元表征来完善学生对角知识的建构。

  我们认为,“指”角活动适用于以直观形象思维为主的低年级学生。在指的动作中,学生能较直观地认识角的“结构特征”;在指的顺序中,学生初步建立了角的概念。当然,“指”这个活动应该贯穿于整个第一学段,以此来达到学生对角概念的动作建构和意义上的初步理解。

  第一学段,教师可以按指角的顺序指导学生画角:“先画一个点(作为角的顶点),再画一条线(作为角的一条边),在另一个方向上画一条线(作为角的另一条边)。”画角技能的背后,折射的就是角的静态定义。通过课前访谈,许多学生能借助三角尺画角,但其画的步骤各不相同:有的学生没画顶点,有的学生画边的顺序倒置。因此,在课堂上,教师应该站在静态定义的高度来指导学生画角的技能,意义重大。我们认为,这样处理将概念本质与操作形式紧密地结合起来,借以概念促技能的达成,并以技能强化概念的理解,两者相辅相成,互助互利。

  教材在第一学段只编排了“直角标记”,但锐角和钝角的标记(角两边之间的弧线)第一次出现却在第二学段(静态定义呈现时)。那么,教师该怎样认清“角标记”的本质呢?我们认为,角标记是角概念不可或缺的一部分,理解角标记有助于学生更全面地理解角概念。

  学生在学习静态定义之后,教师可以引导学生这么理解,“从一点引出两条射线所组成的图形叫做角”,而这条弧线(角标记)正好是“两条边和一个顶点组合的产物”;在学习动态定义之后,教师可以让学生理解角可以看作由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。为此,锐角、钝角的标记不一定非得用弧线,带箭头的弧线更能看出这个角的形成过程,即从哪个“起始位置”旋转到哪个“结束位置”。基于这样的定位,我们认为用带箭头的弧线作角标记不仅适用于平角和周角,而且还适用于其它类型的角,对于拥有这个知识层级的孩子来讲,也是能够理解的。

  众所周知,用量角器画角是学生操作技能上的难点,主要体现在角的“终边”画错。分析错误原因,其根源是学生没有掌握好量角器读数的技能。如:读内圈还是外圈不清?比整十多2°还是少2°不明?那么,怎样帮助这些学生度过难关?我们认为,站在“动态定义”的高度来帮助认识、理解、使用量角器,可以很好地帮助学生形成正确读数技能,掌握准确画角的方法。

  “角可以看作由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。”在教学读数时,教师就应该强调其“开始位置”,即0°刻度线,然后沿着旋转方向依次寻找——可能是顺时针,也可能是逆时针,只要从0°开始由小到大,就能准确找到“结束位置”所在的刻度。掌握了读数技能,画角的难点迎刃而解。我们认为,这样处理,其实就是把“隐性”的操作步骤“显现化”,把动态的定义具体化,有利于帮助学生建构正确的操作技能。

  通过对教材螺旋式编排的解读,我们对不同的学段出现的“角知识”有了更深入地理解。以“静”智“动”,体现了教材在编排上的坡度,激发学生智力上的提升。梳理知识间的脉络,理清知识间的关系,站位“角概念”,研究“角教学”,用后继的数学概念指导着“识角”和“画角”等教学活动,我们似乎有一种高瞻远瞩的感觉。在概念的指引下,教学活动变得有的放矢,学习活动变得紧密有序,学生可以在严密的数学知识链中更好地畅游。

  [1] 邢佳立,吴玉兰,张麟. 角的认识与度量教学研究[M].北京:教育科学出版社,2014:4-7

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